算法之美-基础


数据结构基础-线性表

数组

为什么很多编程语言中数组都从0开始编号?

从数组存储的内存模型上来看,“下标”最确切的定义应该是“偏移(offset)”。如果用 a 来表示数组的首地址,a[0]就是偏移为 0 的位置,也就是首地址,a[k]就表示偏移 k 个 type_size 的位置,

如果从0开始:a[k]_address = base_address + k * type_size

如果从1开始:a[k]_address = base_address + (k-1)*type_size

为了减少一次减法操作,数组选择了从 0 开始编号,而不是从 1 开始。另外一层原因就是:C 语言设计者用 0 开始计数数组下标,之后的语言为了在一定程度上减少学习成本都从0开始

如何实现随机访问

数组(Array)是一种线性表数据结构。它用一组连续的内存空间,来存储一组具有相同类型的数据。

线性表

线性表就是数据排成像一条线一样的结构。每个线性表上的数据最多只有前和后两个方向。链表、队列、栈等也是线性表结构。

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非线性表

二叉树、堆、图为非线性表,在非线性表中,数据之间并不是简单的前后关系。

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数组:连续的内存空间和相同类型的数据。正是因为这两个限制,它才有了一个堪称“杀手锏”的特性:“随机访问“

两个限制也让数组的很多操作变得非常低效,比如要想在数组中删除、插入一个数据,为了保证连续性,就需要做大量的数据搬移工作。

随机访问

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寻址公式:a[i]_address = base_address + i * data_type_size。数组支持随机访问,根据下标随机访问的时间复杂度为 O(1)

插入操作

假设数组的长度为 n , 如果我们要在第 k 个位置插入数据,为了内存的连续性,需要搬移 k 之后的数据

(1)末尾插入

  • 不需要移动数据 时间复杂度为 O(1)

(2)开头插入元素

  • 所有的数据都需要依次往后移动一位
  • 最坏时间复杂度是 O(n)、平均情况时间复杂度为 (1+2+…n)/n=O(n)

(3)某个位置插入一个新的元素

数据是有序的:搬移 k 之后的数据

数据是无序的:将第 k 位的数据搬移到数组元素的最后,把新的元素直接放入第 k 个位置

删除操作

假设数组的长度为 n , 如果我们要删除第 k 个位置的数据,为了内存的连续性,也需要搬移数据,与插入类似。

(1)删除末尾的数据:最好情况时间复杂度为 O(1)

(2)删除开头的数据:最坏情况时间复杂度为 O(n)

(3)平均情况时间复杂度也为 O(n)

某些特殊场景下,我们并不一定非得追求数组中数据的连续性

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依次删除 a,b,c 三个元素,为了避免 d,e,f,g,h 这几个数据会被搬移三次,我们可以先记录下已经删除的数据。每次的删除操作并不是真正地搬移数据,只是记录数据已经被删除。当数组没有更多空间存储数据时,我们再触发执行一次真正的删除操作,这样就大大减少了删除操作导致的数据搬移。例如:JVM 标记清除垃圾回收算法

容器能否代替数组?

容器:Java 中的 ArrayList

个人觉得,ArrayList 最大的优势就是可以将很多数组操作的细节封装起来,还支持动态扩容。每次存储空间不够的时候,它都会将空间自动扩容为 1.5 倍大小,因为扩容操作涉及内存申请和数据搬移,是比较耗时的。所以,如果事先能确定需要存储的数据大小,最好在创建 ArrayList 的时候事先指定数据大小

用数组会更合适些的场景

(1)Java ArrayList 无法存储基本类型,比如 int、long,需要封装为 Integer、Long 类,而 Autoboxing、Unboxing 则有一定的性能消耗,所以如果特别关注性能,或者希望使用基本类型,就可以选用数组

(2)如果数据大小事先已知,并且对数据的操作非常简单,用不到 ArrayList 提供的大部分方法,也可以直接使用数组

(3)还有一个是我个人的喜好,当要表示多维数组时,用数组往往会更加直观。比如 Object[][] array;而用容器的话则需要这样定义:ArrayList > array

对于业务开发,直接使用容器就足够了,省时省力。毕竟损耗一丢丢性能,完全不会影响到系统整体的性能。但如果你是做一些非常底层的开发,比如开发网络框架,性能的优化需要做到极致,这个时候数组就会优于容器,成为首选

访问越界问题

  • C语言:只要不是访问受限的内存,所有的内存空间都是可以自由访问,可能会导致代码无限循环
  • Java语言:ava 本身就会做越界检查,就会抛出java.lang.ArrayIndexOutOfBoundsException

JVM标记清除算法

大多数主流虚拟机采用可达性分析算法来判断对象是否存活,在标记阶段,会遍历所有 GC ROOTS,将所有 GC ROOTS 可达的对象标记为存活。只有当标记工作完成后,清理工作才会开始。

不足:1.效率问题。标记和清理效率都不高,但是当知道只有少量垃圾产生时会很高效。2.空间问题。会产生不连续的内存空间碎片。

二维数组内存寻址

对于 m * n 的数组,a [ i ][ j ] (i < m,j < n)的地址为:address = base_address + ( i * n + j) * type_size


链表

链表结构

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底层的存储结构: 数组需要一块连续的内存空间来存储,而链表通过“指针”将一组零散的内存块串联起来使用

常见的链表结构: 单链表、双向链表、循环链表

单向链表

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记录下个结点地址的指针叫作后继指针 next ,内存块称为链表的“结点“,我们习惯性地把第一个结点叫作头结点,把最后一个结点叫作尾结点,头结点用来记录链表的基地址,尾结点特殊的地方是:指针不是指向下一个结点,而是指向一个空地址 NULL,表示这是链表上最后一个结点。

插入和删除

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在进行数组的插入、删除操作时,为了保持内存数据的连续性,需要做大量的数据搬移,所以时间复杂度是 O(n)。而在链表中插入或者删除一个数据,我们并不需要为了保持内存的连续性而搬移结点,因为链表的存储空间本身就不是连续的。所以,在链表中插入和删除一个数据是非常快速的。针对链表的插入和删除操作,我们只需要考虑相邻结点的指针改变,所以对应的时间复杂度是 O(1)

查找

因为链表中的数据并非连续存储的,所以无法像数组那样,根据首地址和下标,通过寻址公式就能直接计算出对应的内存地址,而是需要根据指针一个结点一个结点地依次遍历,直到找到相应的结点。链表随机访问的性能没有数组好,需要 O(n) 的时间复杂度

循环链表

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单链表的尾结点指针指向空地址,表示这就是最后的结点了。而循环链表的尾结点指针是指向链表的头结点,当要处理的数据具有环型结构特点时,就特别适合采用循环链表。比如著名的约瑟夫问题循环链表是一种特殊的单链表

双向链表

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单向链表只有一个方向,结点只有一个后继指针 next 指向后面的结点。双向链表,它支持两个方向,每个结点不止有一个后继指针 next 指向后面的结点,还有一个前驱指针 prev 指向前面的结点。双向链表需要额外的两个空间来存储后继结点和前驱结点的地址。所以,如果存储同样多的数据,双向链表要比单链表占用更多的内存空间。从结构上来看,双向链表可以支持 O(1) 时间复杂度的情况下找到前驱结点,正是这样的特点,也使双向链表在某些情况下的插入、删除等操作都要比单链表简单、高效

删除操作

链表中删除一个数据的两种情况

(1)删除结点中“值等于某个给定值”的结点: 先查后删:O(n)

(2)删除给定指针指向的结点:根据前驱节点、后继节点删除 时间复杂度O(1)

插入操作:同删除

查询操作

对于一个有序链表,我们可以记录上次查找的位置 p,每次查询时,根据要查找的值与 p 的大小关系,决定是往前还是往后查找,所以平均只需要查找一半的数据

LinkedHashMap

空间换时间:Java 中 LinkedHashMap 这个容器就用到了双向链表这种数据结构。

双向循环链表

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链表 VS 数组

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在实际的软件开发中,不能仅仅利用复杂度分析就决定使用哪个数据结构来存储数据

LRU 缓存淘汰算法

缓存常用策略

(1)先进先出策略 FIFO(First In,First Out)

(2)最少使用策略 LFU(Least Frequently Used)

(3)最近最少使用策略 LRU(Least Recently Used)

如何基于链表实现 LRU 缓存淘汰算法?

我们维护一个有序单链表,越靠近链表尾部的结点是越早之前访问的。当有一个新的数据被访问时,我们从链表头开始顺序遍历链表。

  1. 如果此数据之前已经被缓存在链表中了,我们遍历得到这个数据对应的结点,并将其从原来的位置删除,然后再插入到链表的头部。

  2. 如果此数据没有在缓存链表中,又可以分为两种情况:

    1. 如果此时缓存未满,则将此结点直接插入到链表的头部;
    2. 如果此时缓存已满,则链表尾结点删除,将新的数据结点插入链表的头部。

这样我们就用链表实现了一个 LRU 缓存,是不是很简单?现在我们来看下 m 缓存访问的时间复杂度是多少。因为不管缓存有没有满,我们都需要遍历一遍链表,所以这种基于链表的实现思路,缓存访问的时间复杂度为 O(n)。实际上,我们可以继续优化这个实现思路,比如引入散列表(Hash table)来记录每个数据的位置,将缓存访问的时间复杂度降到 O(1)。因为要涉及我们还没有讲到的数据结构,所以这个优化方案,我现在就不详细说了,等讲到散列表的时候,我会再拿出来讲。除了基于链表的实现思路,实际上还可以用数组来实现 LRU 缓存淘汰策略。如何利用数组实现 LRU 缓存淘汰策略呢?我把这个问题留给你思考。

队列


文章作者: 韩思远
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